Question

6．（背景）某班在一次数学实践活动中，对矩形纸片进行折叠实践操作，并将其产生的数学问题进行相关探究．
（操作）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点P是BC边上一点，现将△APB沿AP对折，得△APM，显然点M位置随P点位置变化而发生改变
（问题）试求下列几种情况下：点M到直线CD的距离
（1）∠APB=75°；（2）P与C重合；（3）P是BC的中点．

Answer 1

分析 （1）如图1，过M作EF⊥AD，则EF⊥BC，由∠AMP=∠B=∠MFP=90°，得到∠AME=∠MPF，推出△AEM∽△MFP，根据已知条件得到∠MPF=30°，AE=2，即可得到结论；
（2）如图2，过M作GH∥AD交BA，CD的延长线于G，H，则四边形ADHG是矩形，推出△AMG∽△MHP，设AG=x，则DH=x，得到PH=4+x，列比例式得到MH=$\frac{3}{2}$x，根据勾股定理得到x=$\frac{20}{13}$（负值舍去），即可得到结论；
（3）当P是BC的中点时，如图3，过M作EF∥AB交AB，BC于E，F，推出△AEM∽△MFP，根据相似三角形的性质得到$\frac{x}{3}=\frac{EM}{4}$，得到EM=$\frac{4}{3}$x，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）当∠APB=75°时，如图1，过M作EF⊥AD，则EF⊥BC，
∵∠AMP=∠B=∠MFP=90°，
∴∠AME=∠MPF，
∴△AEM∽△MFP，
∵∠APB=75°，
∴∠MPF=30°，
∵AM=AB=4，
∴AE=2，
∴DE=4；

（2）当P与C重合，如图2，过M作GH∥AD交BA，CD的延长线于G，H，
则四边形ADHG是矩形，
∵∠AMP=∠ABC=∠AMC=90°，
∴∠AMG=∠MPH，
∴△AMG∽△MHP，
设AG=x，则DH=x，
∴PH=4+x，
∴$\frac{MH}{6}=\frac{x}{4}$，
∴MH=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△MHP中，MH²+PH²=MC²，
即（$\frac{3}{2}$x）²+（4x）²=6²，
∴x=$\frac{20}{13}$（负值舍去），
∴MH=$\frac{30}{13}$；

（3）当P是BC的中点时，如图3，过M作EF∥AB交AB，BC于E，F，
∵P是BC的中点，
∴BP=3，
设PF=x，则BF=3+x，
∴AE=3+x，
由折叠的性质得，AM=AB=4，PM=PB=3，∠AMP=∠B=90°，
∴△AEM∽△MFP，
∴$\frac{x}{3}=\frac{EM}{4}$，
∴EM=$\frac{4}{3}$x，
在Rt△AEM中，
AE²+EM²=AM²，
即（$\frac{4}{3}$x）²+（3+x）²=4²，
∴x=$\frac{21}{25}$（负值舍去），
∴DE=$\frac{54}{25}$．

点评 本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．