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在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90°,CB=4,OA=8,AB=4数学公式分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)若D是线段OB上的点,OD=3DB,直线CD交x轴于E,求直线CD的解析式;
(3)若点P是(2)中直线CD上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)过B作BF⊥x轴于F,如图,
∵CB=4,OA=8,
∴AF=8-4=4,
在Rt△ABF中,AB=4
∴BF==8,
∴C点坐标为(0,8)
B点坐标为(4,8);

(2)过D作DG⊥x轴于E,如图,
∴Rt△ODG∽Rt△OBF,
∴OD:OB=OG:OF=DG:BF,
而OD=3DB,即OD:OB=3:4,OF=4,BF=8,
∴OE=3,DG=6,
∴D点坐标为(3,6);
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把C(0,8)、D(3,6)代入得,b=8,3k+b=6,解得k=-,b=8,
∴直线CD的解析式为y=-x+8;

(3)存在.理由如下:
如图,
当OC为菱形的对角线,即P1Q1垂直平分OC,
∴P1的纵坐标为4,
把y=4代入y=-x+8解得x=6,
∴P1的坐标为(6,4),
∴Q1的坐标为(-6,4);
当OC为菱形的边长,
∴P2O=OC=Q2P2=8,P2Q2∥OC,
设P2(a,b),则Q(a,b+8),
∴a2+b2=82,b=-a+8,解得a=,b=
∴Q2的坐标为();
同样的方法可求出Q3的坐标为(-);
所以满足条件的点Q的坐标为(-6,4);();(-).
分析:(1)过B作BF⊥x轴于F,则OF=BC=4,得到AF=4,在Rt△ABF中,利用勾股定理求出BF,即可得到B点坐标;
(2)过D作DE⊥x轴于E,则Rt△ODE∽Rt△OBF,得到OD:OB=OE:OF=DE:BF,而OD=3DB,即OD:OB=3:4,OF=4,BF=8,求出OE=3,DE=6,确定D点坐标,然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式;
(3)根据菱形的性质得:当OC为菱形的对角线,即P1Q1垂直平分OC,P1的纵坐标为4,把y=4代入y=-x+8可确定P1的坐标,即可得到Q1的坐标;当OC为菱形的边长,则P2O=OC=Q2P2=8,P2Q2∥OC,设P2(a,b),则Q(a,b+8),则a2+b2=82,b=-a+8,解出a和b的值即可得到Q2的坐标;同样的方法可求出Q3的坐标.
点评:本题考查了利用待定系数法求直线的解析式:设直线的解析式为y=kx+b,然后把两确定的点的坐标代入求出k和b即可;也考查了三角形相似的判定与性质、菱形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的运用.
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图(1),在直角梯形OABC中,BC∥OA,∠OCB=90°,OA=6,AB=5,cos∠OAB=
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(1)写出顶点A、B、C的坐标;
(2)如图(2),点P为AB边上的动点(P与A、B不重合),PM⊥OA,PN⊥OC,垂足分别为M,N.设PM=x,四边形OMPN的面积为y.
①求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②是否存在一点P,使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由.

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做一做
(1)在直角坐标系中描出下列各组点,并将各组内的点用线段依次连接起来.
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(1)(1,0)、(6,0)、(6,1)、(5,0)、(6,-1)、(6,0);
(2)(2,0)、(5,3)、(4,0);
(3)(2,0)、(5,-3)、(4,0).
观察所得到的图形像什么?如果要将此图形向上平移到x轴上方,那么至少要向上平移几个单位长度.

(2)如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=45°,则∠DAC的度数是多少?
(写出解答过程)
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(3)如图所示的平面直角坐标系,在直角梯形OABC中,CB∥OA,CB=8,OC=8,∠OAB=45°
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(1)求点A、B、C的坐标;
(2)求梯形OABC的面积.

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如图,在直角梯形OABC中,OA、OC边所在直线与x、y轴重合,BC∥OA,点B的坐标为(6.4,4.8),对角线OB⊥OA.在线段OA、AB上有动点E、D,点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动,同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动.当点E到达点A时,点D同时停止运动.设点E的运动时间为t(秒),
(1)求线段AB所在直线的解析式;
(2)设四边形OEDB的面积为y,求y关于t的函数关系式,并写出自变量的t的取值范围;
(3)在运动过程中,存不存在某个时刻,使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似,若存在求出这个时刻t,若不存在,说明理由.

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(2013•高淳县二模)如图,在直角梯形OABC中,OA∥BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),B(11,12).动点P、Q分别从O、B两点同时出发,点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动,点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动,当点Q运动到C点时,P、Q同时停止运动,动点P、Q运动时间为t秒.设线段PQ和OB相交于点D,过点D作DE∥OA交AB于点E,射线QE交x轴于点F.
(1)当t为何值时,以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形?
(2)设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S,求S关于运动时间t的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)当t为何值时,△PQF是等腰三角形?

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如图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,2),C(3,0).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ⊥直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t≤7),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)写出点B的坐标:
(3,2)
(3,2)

(2)当t=7时,求直线PQ的解析式,并判断点B是否在直线PQ上;
(3)求S关于t的函数关系式;
(4)连接AC.是否存在t,使得PQ分△ABC的面积为1:3?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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