解:(1)过B作BF⊥x轴于F,如图,
∵CB=4,OA=8,
∴AF=8-4=4,
在Rt△ABF中,AB=4
,
∴BF=
=8,
∴C点坐标为(0,8)
B点坐标为(4,8);
(2)过D作DG⊥x轴于E,如图,
∴Rt△ODG∽Rt△OBF,
∴OD:OB=OG:OF=DG:BF,
而OD=3DB,即OD:OB=3:4,OF=4,BF=8,
∴OE=3,DG=6,
∴D点坐标为(3,6);
设直线CD的解析式为y=kx+b,
把C(0,8)、D(3,6)代入得,b=8,3k+b=6,解得k=-
,b=8,
∴直线CD的解析式为y=-
x+8;
(3)存在.理由如下:
如图,
当OC为菱形的对角线,即P
1Q
1垂直平分OC,
∴P
1的纵坐标为4,
把y=4代入y=-
x+8解得x=6,
∴P
1的坐标为(6,4),
∴Q
1的坐标为(-6,4);
当OC为菱形的边长,
∴P
2O=OC=Q
2P
2=8,P
2Q
2∥OC,
设P
2(a,b),则Q(a,b+8),
∴a
2+b
2=8
2,b=-
a+8,解得a=
,b=
,
∴Q
2的坐标为(
,
);
同样的方法可求出Q
3的坐标为(-
,
);
所以满足条件的点Q的坐标为(-6,4);(
,
);(-
,
).
分析:(1)过B作BF⊥x轴于F,则OF=BC=4,得到AF=4,在Rt△ABF中,利用勾股定理求出BF,即可得到B点坐标;
(2)过D作DE⊥x轴于E,则Rt△ODE∽Rt△OBF,得到OD:OB=OE:OF=DE:BF,而OD=3DB,即OD:OB=3:4,OF=4,BF=8,求出OE=3,DE=6,确定D点坐标,然后利用待定系数法可求出直线CD的解析式;
(3)根据菱形的性质得:当OC为菱形的对角线,即P
1Q
1垂直平分OC,P
1的纵坐标为4,把y=4代入y=-
x+8可确定P
1的坐标,即可得到Q
1的坐标;当OC为菱形的边长,则P
2O=OC=Q
2P
2=8,P
2Q
2∥OC,设P
2(a,b),则Q(a,b+8),则a
2+b
2=8
2,b=-
a+8,解出a和b的值即可得到Q
2的坐标;同样的方法可求出Q
3的坐标.
点评:本题考查了利用待定系数法求直线的解析式:设直线的解析式为y=kx+b,然后把两确定的点的坐标代入求出k和b即可;也考查了三角形相似的判定与性质、菱形的性质、勾股定理以及分类讨论思想的运用.