Question

【题目】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知∠ABC=60°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．

（1）求证：△ABC≌△EAF；

（2）试判断四边形EFDA的形状，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFDA是平行四边形．

【解析】

试题分析：（1）由△ABE是等边三角形可知：AE=BE，∠EAF=60°，于是可得到∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，接下来依据AAS证明△ABC≌△EAF即可；

（2）由△ABC≌△EAF可得到EF=AC，由△ACD是的等边三角形进而可证明AC=AD，然互再证明∠BAD=90°，可证明EF∥AD，故此可得到四边形EFDA为平行四边形．

试题解析：（1）证明：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠EAF=60°，AE=BE，∠EFA=90°．

又∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC．

在△ABC和△EAF中，∵∠EFA=∠ACB，∠EAF=∠ABC，AE=BE，∴△ABC≌△EAF．

（2）结论：四边形EFDA是平行四边形．

理由：∵△ABC≌△EAF，∴EF=AC．∵△ACD是的等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°，∴AD=EF．又∵Rt△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=30°，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，∴∠EFA=∠BAD=90°，∴EF∥AD．又∵EF=AD，∴四边形EFDA是平行四边形．