Question

【题目】已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）写出求图中阴影部分的面积的思路．（不求计算结果）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠A=∠C=60°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠A=60°，

∴∠ODA=∠C，

∴OD∥BC，

∵DF⊥BC，

∴OD⊥BC，

∴DF为⊙O的切线

（2）解：∵等边三角形ABC的边长为4，

∴AB=AC=4，∠C=60°，

∵AO=AD=2，

∴CD=2，

在Rt△CDF中，∵sinC= ，

∴DF=2sin60°=

（3）解：连接OE，如图，

∵CF= CD=1，

∴EF=CE﹣CF=1，

∴S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE= （1+2） ﹣ = ﹣ π．

【解析】（1）连接OD，如图，利用等边三角形的性质得到∠A=∠C=60°，再证明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根据切线的判定定理可判断DF为⊙O的切线；（2）利用等边三角形的性质得到AB=AC=4，∠C=60°，则CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定义可计算出DF；（3）连接OE，如图，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S梯形ODFE﹣S扇形DOE进行计算．
【考点精析】掌握等边三角形的性质和切线的判定定理是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．