Question

14．在△ABC中，过B、C分别作∠BAC的平分线的垂线，E、F为垂足，AD⊥BC于D，M为BC中点，求证：M、E、D、F四点共圆．

Answer 1

分析 连结ME、MF、DE，只须证∠MFE=∠MDE即可．由AF平分∠BAC，CF⊥AF，利用等腰三角形的判定方法和性质得到F为CG的中点．又M为BC的中点，故FM∥GB，于是∠MFE=∠BAE，然后利用圆周角定理证明∠BDE=∠BAE即可．

解答 解：延长CF交AB于G，如图，
∵AF平分∠GAC，CF⊥AF，
∴AG=AC，
∴GF=CF，
∵M点BC的中点，
∴MF∥AB，
∴∠BAE=∠MFE，
∵BE⊥AE，AD⊥BC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴点D和点E在以AB为直径的圆上，
∴∠BAE=∠BDE，
∴∠MFE=∠MDE，
∴M、E、D、F四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆：将四点连成一个四边形，若对角互补，那么这四点共圆；连接对角线，若这个四边形的一边同侧的两个顶角相等，那么这四点共圆． 延长CF构造三角形的中位线是解决问题的突破口．