Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=AB，AC平分∠DAB，F为BC上一点，且BF=AD，连接DF交AC于E点，连接BE．
（1）求证：BE=DC；
（2）若AD=4，BC=6，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）分别证明△ABC、△CEF、△ADE都是等边三角形，然后证得△BFE≌△DEC，从而证得BE=DC；
（2）利用上题证得的平行四边形和等边三角形利用勾股定理求解即可．

解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC．
∵AD∥BC，∠DAC=∠ACB
∴∠BAC=∠ACB，
∴AB=BC，
∵AC=AB，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DAC=∠ACB=∠ACB=60°，
∵AD∥BC，AD=BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴DF∥AB，
∴∠CEF=∠AED=60°，
∴△CEF、△ADE都是等边三角形，
∴∠BFE=∠CED，EF=EC，DE=AD=BF，
∴△BFE≌△DEC，
∴BE=DC

（2）解：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴DF=AB，BF=DE=AD
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=DF=6
作EG⊥BC于点G，
则由勾股定理得：EG=

EF2+GF2

=

3

，
∴在Rt△BEG中，
BE=

BG2+GE2

=

28

=2

7

．

点评：本题考查了平行四边形的性质及判定、等边三角形的判定及性质及全等三角形的判定及性质，考查的知识点比较多，比较碎，但难度不太大．