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【题目】问题背景:

如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.

小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC=CD.

简单应用:

(1)在图①中,若AC=,BC=,则CD=

(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的长.

拓展规律:

(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)

(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是

【答案】(1)3;(2);(3);(4)PQ=AC或PQ=AC.

【解析】

试题分析:(1)由题意可知:AC+BC=CD,所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度;

(2)连接AC、BD、AD即可将问题转化为第(1)问的问题,利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度;

(3)以AB为直径作⊙O,连接OD并延长交⊙O于点D1,由(2)问题可知:AC+BC=CD1;又因为CD1=D1D,所以利用勾股定理即可求出CD的长度;

(4)根据题意可知:点E的位置有两种,分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时,连接CQ、CP后,利用(2)和(3)问的结论进行解答.

试题解析:(1)由题意知:AC+BC=CD,∴=CD,∴CD=3,;

(2)连接AC、BD、AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵,∴AD=BD,将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,如图③,∴∠EAD=∠DBC,∵∠DBC+∠DAC=180°,∴∠EAD+∠DAC=180°,∴E、A、C三点共线,∵AB=13,BC=12,∴由勾股定理可求得:AC=5,∵BC=AE,∴CE=AE+AC=17,∵∠EDA=∠CDB,∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB=90°,∵CD=ED,∴△EDC是等腰直角三角形,∴CE=CD,∴CD=

(3)以AB为直径作⊙O,连接OD并延长交⊙O于点D1,连接D1A,D1B,D1C,如图④

由(2)的证明过程可知:AC+BC=D1C,∴D1C=,又∵D1D是⊙O的直径,∴∠DCD1=90°,∵AC=m,BC=n,∴由勾股定理可求得:,∴,∵,∴==,∵m<n,∴CD=

(3)当点E在直线AC的左侧时,如图⑤,连接CQ,PC,∵AC=BC,∠ACB=90°,点P是AB的中点,∴AP=CP,∠APC=90°,又∵CA=CE,点Q是AE的中点,∴∠CQA=90°,设AC=a,∵AE=AC,∴AE=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(2)的证明过程可知:AQ+CQ=PQ,∴PQ=a,∴PQ=AC;

当点E在直线AC的右侧时,如图⑥,连接CQ、CP,同理可知:∠AQC=∠APC=90°,设AC=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(3)的结论可知:PQ=(CQ﹣AQ),∴PQ=AC.

综上所述,线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC或PQ=AC.

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