【题目】问题背景:
如图①,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图②),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论:AC+BC=CD.
简单应用:
(1)在图①中,若AC=,BC=,则CD= .
(2)如图③,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙上,,若AB=13,BC=12,求CD的长.
拓展规律:
(3)如图④,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,BC=n(m<n),求CD的长(用含m,n的代数式表示)
(4)如图⑤,∠ACB=90°,AC=BC,点P为AB的中点,若点E满足AE=AC,CE=CA,点Q为AE的中点,则线段PQ与AC的数量关系是 .
【答案】(1)3;(2);(3);(4)PQ=AC或PQ=AC.
【解析】
试题分析:(1)由题意可知:AC+BC=CD,所以将AC与BC的长度代入即可得出CD的长度;
(2)连接AC、BD、AD即可将问题转化为第(1)问的问题,利用题目所给出的证明思路即可求出CD的长度;
(3)以AB为直径作⊙O,连接OD并延长交⊙O于点D1,由(2)问题可知:AC+BC=CD1;又因为CD1=D1D,所以利用勾股定理即可求出CD的长度;
(4)根据题意可知:点E的位置有两种,分别是当点E在直线AC的右侧和当点E在直线AC的左侧时,连接CQ、CP后,利用(2)和(3)问的结论进行解答.
试题解析:(1)由题意知:AC+BC=CD,∴=CD,∴CD=3,;
(2)连接AC、BD、AD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵,∴AD=BD,将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,如图③,∴∠EAD=∠DBC,∵∠DBC+∠DAC=180°,∴∠EAD+∠DAC=180°,∴E、A、C三点共线,∵AB=13,BC=12,∴由勾股定理可求得:AC=5,∵BC=AE,∴CE=AE+AC=17,∵∠EDA=∠CDB,∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC,即∠EDC=∠ADB=90°,∵CD=ED,∴△EDC是等腰直角三角形,∴CE=CD,∴CD=;
(3)以AB为直径作⊙O,连接OD并延长交⊙O于点D1,连接D1A,D1B,D1C,如图④
由(2)的证明过程可知:AC+BC=D1C,∴D1C=,又∵D1D是⊙O的直径,∴∠DCD1=90°,∵AC=m,BC=n,∴由勾股定理可求得:,∴,∵,∴==,∵m<n,∴CD=;
(3)当点E在直线AC的左侧时,如图⑤,连接CQ,PC,∵AC=BC,∠ACB=90°,点P是AB的中点,∴AP=CP,∠APC=90°,又∵CA=CE,点Q是AE的中点,∴∠CQA=90°,设AC=a,∵AE=AC,∴AE=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(2)的证明过程可知:AQ+CQ=PQ,∴PQ=a,∴PQ=AC;
当点E在直线AC的右侧时,如图⑥,连接CQ、CP,同理可知:∠AQC=∠APC=90°,设AC=a,∴AQ=AE=,由勾股定理可求得:CQ=a,由(3)的结论可知:PQ=(CQ﹣AQ),∴PQ=AC.
综上所述,线段PQ与AC的数量关系是PQ=AC或PQ=AC.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题,随机抽取了100名家长进行问卷调查,每位学生家长只有一份问卷,且每份问卷仅表明一种态度(这100名家长的问卷真实有效),将这100份问卷进行回收整理后,绘制了如下两幅不完整的统计图.
(1)“从来不管”的问卷有 份,在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为 .
(2)请把条形图补充完整.
(3)若该校共有学生2000名,请估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有多少人.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,直线y=x+4交于x轴于点A,交y轴于点C,过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B(1,0).
(1)求抛物线F1所表示的二次函数的表达式;
(2)若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点,设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC,记S=S四边形MAOC﹣S△BOC,求S最大时点M的坐标及S的最大值;
(3)如图②,将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2,点A、B与(2)中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′,过点M′作M′E⊥x轴于点E,交直线A′C于点D,在x轴上是否存在点P,使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE、FG相交于点H.
(1)判断线段DE、FG的位置关系,并说明理由;
(2)连结CG,求证:四边形CBEG是正方形.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了解某市七年级一次期末数学测试情况,从8万名考生中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析,下列说法中正确的是( ).
A. 这1000名学生是总体的一个样本 B. 每位学生的数学成绩是个体
C. 8万名学生是总体 D. 1000名学生是样本容量
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