Question

如图PA是△ABC的外接圆O的切线，A是切点，PD∥AC，且PD与AB、AC分别相交于E、D．
求证：（1）∠PAE=∠BDE；
（2）EA•EB=ED•EP．

Answer 1

证明：如右图所示，
（1）∵AP是切线，
∴∠PAE=∠ACB，
又∵PD∥AC，
∴∠PDB=∠BDE，
∴∠PAE=∠BDE；

（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，
又∵∠AEP=∠DEB，
∴△AEP∽△DEB，
∴AE：PE=DE：BE，
∴EA•EB=ED•EP．
分析：（1）由于AP是切线，那么∠PAE=∠ACB，而PD∥AC，于是有∠PDB=∠BDE，那么∠PAE=∠BDE；
（2）由（1）得∠PAE=∠BDE，又∠AEP=∠DEB，从而可得△AEP∽△DEB，于是有AE：PE=DE：BE，易得证．
点评：本题考查了切线的性质、平行线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质．解题的关键是利用弦切角定理知道∠PAE=∠ACB．