Question

（1）求证关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）若关于x的方程x²-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）设（1）中方程的两根为a、b，若（2）中的k为整数，且以k、a、b为边的三角形恰好是一个直角三角形，试求m的值．

Answer 1

解：（1）∵a=1，b=m-3，c=-3m，
∴△=（m-3）²-4×1×（-3m）
=m²+6m+9
=（m+3）²≥0，
∴关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）∵a=1，b=-2，c=3k-6，
∴△=（-2）²-4×1×（3k-6）
=8k-12-12k+24
=-4k+12，
∵关于x的方程x²-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，
∴△=-4k+12＞0，
解得：k＜3；
∵2k-3≥0，
∴k≥，
∴≤k＜3；
（3）∵x²+（m-3）x-3m=0，
∴（x+m）（x-3）=0，
解得：x₁=-m，x₂=3，
∴a=-m，b=3，
∵k为整数，
∴k=2，
若k²+a²=b²，
即4+（-m）²=9，
∴m=±，
∵a=-m＞0，
∴m＜0，
∴m=-，
若k²+b²=a²，
则4+9=（-m）²，
解得m=±，
∵m＜0，
∴m=-，
∴m的值为-或-．
分析：（1）根据根的判别式与一元二次方程的关系，可得△≥0，即可证得关于x的一元二次方程x²+（m-3）x-3m=0一定有两个实数根；
（2）由关于x的方程x²-2x+3k-6=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，用含k的代数式表示出△，解不等式即可；
（3）首先表示出a，b，k，再由直角三角形需要满足勾股定理，根据关系式求解即可．
点评：此题考查了根的判别式（当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根），以及用因式分解法解一元二次方程．题目难度中等，解题时要注意分析问题要全面．