Question

22、如图，已知直线l和点A、B，在直线l上找一点P，使△PAB的周长最小，请说明理由．

Answer 1

分析：由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．

解答：解：作法：
（1）作A关于l的对称点A′，

（2）连接A′B交l于点P．
则点P就是所要求作的点．
理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．
∵A和A′关于直线l对称，
∴PA=PA′，P′A=P′A′，
而A′P+BP＜A′P′+BP′
∴PA+BP＜AP′+BP′
∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′
即△ABP周长小于△ABP′周长．

点评：解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．