Question

2．如图，△ABC是边长为a的等边三角形，将三角板的30°角的顶点与A重合，三角板30°角的两边与BC交于D、E两点，则DE长度的取值范围是（2$\sqrt{3}$-3）a≤DE≤$\frac{1}{2}$a．．

Answer 1

分析 当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，解直角三角形即可求得DE的最大值；当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，证明△ABD≌△ADF，则∠B=∠AFD，BD=DF，然后证明△ABH∽△DFH，根据相似三角形的性质求得DH=$\frac{\frac{1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a+\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$a，即可求得DE的最小值．

解答 解：当B、D重合或C、E重合时DE长度最大，如图1，
∵∠BAE=30°，∠AEB=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$a，
当∠BAD=∠CAE=15°时，DE长度最小，如图2，
作AF⊥BC，且AF=AB，连接DF、CF，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=∠CAF=30°，
∵∠BAD=∠CAE=15°，
∴∠DAH=∠EAH=15°，
∴∠BAD=∠DAH，
在△ADB和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠BAD=∠DAH}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ADF，
∴∠B=∠AFD，BD=DF，
∵∠AHB=∠DHF=90°，
∴△ABH∽△DFH，
AB：AH=DF：DH，
∴$\frac{AB}{AH}$=$\frac{BD}{DH}$，
∴$\frac{AB+AH}{AH}$=$\frac{BD+DH}{DH}$，
∴DH=$\frac{（BD+DH）•AH}{AB+AH}$，其中BD+DH=$\frac{1}{2}$a、AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴DH=$\frac{\frac{1}{2}a•\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a+\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{2\sqrt{3}-3}{2}$a
∴DE=（2$\sqrt{3}$-3）a，
故DE长度的取值范围是（2$\sqrt{3}$-3）a≤DE≤$\frac{1}{2}$a．

点评 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．