Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DC；③∠DBC=∠DAC；④△ABD是正三角形．请写出正确结论的序号    （请你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】分析：由AB=AC，AC=AD，可得△ABD是等腰三角形，由AC平分∠DAB，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可得AC⊥BD，BE=DE，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BC=DC；又由AB=AC，AC=AD，可得B，C，D都在以A为圆心，AB为半径的圆上，根据圆周角的性质，即可得③正确．
解答：解：∵AB=AC，AC=AD，
∴AB=AD，
∵AC平分∠DAB，
∴AC⊥BD，BE=DE，
故①正确；
∴AC是BD的垂直平分线，
∴BC=DC，
故②正确；
∵AB=AC，AC=AD，
∴B，C，D都在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠DBC=∠DAC，
故③正确；
∵∠BAD不一定等于60°，
∴△ABD不一定是正三角形．
∴正确结论有①②③．
故答案为：①②③．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质以及圆周角定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．