Question

【题目】在平面直角坐标系中，若要把一条直线平移到某个位置，经常可通过方式一：上(下)平移，或者方式二：左(右)平移的其中一种达到目的．现有直线交轴于点，若把直线向右平移8个单位长度得到直线，直线交轴于点．

（1）求直线的解析式，并说明直线若按方式一是如何平移到直线的位置；

（2）若直线上的一点，点按方式一平移后在直线上的对应点记为点．

①若点在直线上，且，求点的坐标(用含的式子表示) ；

②当时，试证明直线必将四边形的面积二等分．

Answer 1

【答案】（1），向上平移4个单位；（2）①点的坐标为；②证明见解析

【解析】

（1）根据直线平行k相等，可求直线的解析式，根据两直线与x轴交点坐标可确定按方式一是如何平移到直线的；

（2）①根据B在直线上可得，由B的对应点为C，可得点C，且BC∥y轴，由中点坐标公式可得中点坐标，根据线段垂直平分线的性质得点P在BC的垂直平分线上，即点P的纵坐标和BC中点的纵坐村都是，设点P的横坐标为，代入可得结论；

②证明四边形ABCD是平行四边形，连接BD、AC，交点记为点E，确定E，则过点E的直线把平行四边形ABCD的面积二等分，再证明直线直线必过E点，可得结论．

解：(1)，

当时，，

∴直线与轴交点坐标为，

按方式二平移后的对应点为，且在直线上，

设直线的解析式为

∴，

∴直线的解析式为：，

，

∴直线若按方式一向上平移4个单位得到直线；

(2)①如图1，∵点在直线上，

，

∴点，

由(1)得，点，且轴，

∴的中点坐标为，

∴点在的垂直平分线上，

又∵轴，

∴点的纵坐标为，

设点的横坐标为，

，

∴点的坐标为；

②如图2，根据题意得：，， ，

由平移可知，

∴四边形是平行四边形，

连接四边形的对角线，交点记为点，则是的中点，

，

过点的直线把平行四边形的面积二等分，

把代入中，得，

即当时，直线必过点，

直线必将四边形的面积二等分．