【题目】将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在直线交AC所在直线于点F.
(1)连接BF,求证:CF=EF.
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其他条件不变,如图②,求证:AF+EF=DE.
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其他条件不变,如图③,你认为(2)中的结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
(1)连接BF,证明Rt△BCF≌Rt△BEF,根据全等三角形的性质即可证得CF=EF;(2)连接BF,证明Rt△BCF≌Rt△BEF,根据全等三角形的性质可得CF=EF,由此即可证得结论;(3)连接BF,证明Rt△BCF≌Rt△BEF,根据全等三角形的性质可得CF=EF,由此即可证得结论.
(1)证明:如图1,连接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,
∵∠ACB=∠DEB=90°,
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
,
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴CF=EF;
(2)如图2,连接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE, AC=DE,
∵∠ACB=∠DEB=90°,
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
,
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴EF=CF,
∴AF+EF=AF+CF=AC=DE;
(3)如图3,连接BF,
∵△ABC≌△DBE,
∴BC=BE,AC=DE,
∵∠ACB=∠DEB=90°,
∴△BCF和△BEF是直角三角形,
在Rt△BCF和Rt△BEF中,
,
∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL),
∴CF=EF,
∵AC=DE,
∴AF=AC+FC=DE+EF.
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【题目】(2011贵州安顺,9,3分)正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH的面积为y,AE=x. 则y关于x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
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【题目】某商品的进货价为每件30元,为了合理定价,先投放市场试销.据市场调查,销售价为每件40元时,每周的销售量是180件,而销售价每上涨1元,则每周的销售量就会减少5件,设每件商品的销售价上涨x元,每周的销售利润为y元.
(1)用含x的代数式表示:每件商品的销售价为 元,每件商品的利润为 元,每周的商品销售量为 件;
(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)应怎样确定销售价,使该商品的每周销售利润最大?最大利润是多少?
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【题目】某学校准备印刷一批证书,现有两个印刷厂可供选择:甲厂收费方式:收制版费1000元,每本印刷费0.5元;乙厂收费方式:不收制版费,每本收印刷费1.5元;若该校印制证书x本.
(1)当印制证书3000本时,甲厂的收费为 元,乙厂的收费为 元;
(2)请问印刷多少本证书时,甲乙两厂收费相同?
(3)你认为选择哪一家印刷厂更优惠?
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【题目】如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.
(1)直接填空:∠BAD=______°.
(2)点P在CD上,连结AP,AM平分∠DAP,AN平分∠PAB,AM、AN分别与射线BP交于点M、N.设∠DAM=α°.
①求∠BAN的度数(用含α的代数式表示).
②若AN⊥BM,试探究∠AMB的度数是否为定值?若为定值,请求出该定值;若不为定值,请用α的代数式表示它.
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【题目】如图,抛物线 (a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:
①4ac<b2;
②方程 的两个根是x1=﹣1,x2=3;
③3a+c>0
④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3
⑤当x<0时,y随x增大而增大
其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】已知数轴上,一动点Q从原点O出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动,其移动的方式是:先向右移动1个单位,再向左移动2个单位长度,又向右移动3个单位长度,再向左移动4个单位长度…,
(1)求出3秒钟时,动点Q所在的位置;
(2)若5秒时,动点Q激活所在位置P点,P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动,试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置;
(3)如图,在数轴上的A1、A2、A3、A4,这4个点所表示的数分别为a1、a2、a3、a4,若A1A2=A2A3=A3A4,且a1=20,|a1﹣a4|=12,|a1﹣x|=a2+a4
①求x值;
②在(2)的条件下,若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动,当Q点到达数x的点处,则P点所对应的数是 .
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【题目】平面直角坐标系中,对于点和点
,给出如下定义:
若 则称点
为点
的可变点.例如:点
的可变点的坐标是
,点
的可变点的坐标是
.
(1)①点的可变点的坐标是 ;
②在点,
中有一个点是函数
图象上某一个点的可变点,这个点是 ;(填“A”或“B”)
(2)若点在函数
的图象上,求其可变点
的纵坐标
的取值范围;
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