Question

已知直线y=2x+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，又P、Q两点的坐标分别为P（-2，0）、Q（0，k），其中k＜6．再以Q点为圆心，PQ长为半径作圆，则：
（1）当k取何值时，⊙Q与直线相切？
（2）说出k在什么范围内取值时，⊙Q与直线AB相离？相交？（只须写出结果，不必写解答过程）

Answer 1

分析：（1）求出A、B的坐标，过Q所作QD⊥AB垂足为D，证Rt△QDB∽Rt△AOB，求出QD，根据QD=PQ，即可求出k的值；
（2）根据（1）的结论和⊙Q与直线AB相离、相交的特点即可求出答案．

解答：解：（1）把x=0代入y=2x+6得：y=6，
把y=0代入y=2x+6得：x=-3，
∴A（-3，O），B（0，6），
如图，过Q所作QD⊥AB垂足为D
由勾股定理得：AB=3

5

，
∵∠ABO=∠ABO，∠AOB=∠QDB=90°，
∴Rt△QDB∽Rt△AOB，AO=3，QB=6-k，AB=3

5

，
∴QD=

6-k

5

．
又QP=

k2+4

，
∴

6-k

5

=

k2+4

，
解得：k=-4或k=1，
故当k=-4或k=1时，⊙Q与直线AB相切；

（2）当-4＜k＜1时，⊙Q与直线AB相离；
当k＜-4或1＜k＜6时，⊙Q与直线AB相交．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，直线与圆的位置关系的应用，关键是求出k为何值时直线与圆相切，注意：当直线与圆相切时，d=r，当直线与圆相离时，d＞r，当直线与圆相交时，d＜r．