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    如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标为（0，-3），B是射线CO上的一个动点，经过B点的直线交x轴于点A（直线AB总有经过第二、四象限），且OA=2OB，动点P在直线AB上，设点P的纵坐标为m，线段CB的长度为t．
    （1）当t=7，且点P在第一象限时，连接PC交x轴于点D．
    ①直接写出直线AB的解析式；
    ②当CD=PD时，求m的值；
    ③求△ACP的面积S．（用含m的代数式表示）
    （2）是否同时存在m、t，使得由A、C、O、P为顶点组成的四边形是等腰梯形？若存在，请求出所有满足要求的m、t的值；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）①当t=7时，即CB=7，由OC=3，OA=2OB求出A，B两点的坐标，再设直线AB的解析式为y=kx+b，将A，B两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
    ②过P作PH⊥OA于H，当CD=PD时，根据AAS可得△COD≌△PHD，则PH=OC，即m=3；
    ③先由PH∥OB，得△APH∽△ABO，根据相似三角形对应边成比例得出=，求出AH=2m，则OH=8-2m，再根据三角形面积公式得出S△BCP=28-7m，则S=S△ABC-S△BCP=7m；
    （2）由于B是射线CO上的一个动点，所以根据B点的不同位置分两种情况进行讨论：①点B运动在y轴的正半轴上；②点B运动在OC上．又动点P在直线AB上，直线AB总有经过第二、四象限，所以在每一种情况下，P点所在的位置又有三种可能的情况：①点P分别在第一、二、四象限；②点P分别在第二、三、四象限．
    解答：解：（1）①当t=7时，CB=7，
    ∵OC=3，
    ∴OB=CB-OC=7-3=4，
    ∴OA=2OB=8，
    ∴A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，4）．
    设直线AB的解析式为y=kx+b，
    则，解得，
    ∴直线AB的解析式为y=-x+4；

    ②如图，过P作PH⊥OA于H．
    在△COD与△PHD中，
    ，
    ∴△COD≌△PHD，
    ∴CO=PH，
    ∴m=3；

    ③∵PH∥OB，
    ∴△APH∽△ABO，
    ∴=，=，
    ∴AH=2m，OH=8-2m，
    ∴S△BCP=×7×（8-2m）=28-7m，
    ∴S=S△ABC-S△BCP=28-（28-7m）=7m；

    （2）①当点B运动在y轴的正半轴上时．
    a、当点P在第一象限时，如图1，若四边形OCAP是等腰梯形，则PA=OC=3．
    ∵∠AHP=90°，OA=2OB，
    ∴PH=PA•sin∠PAH=3×=，即m1=．
    ∵∠BCA=∠BAC，
    ∴BA=BC=t．
    在Rt△AOB中，AB=OB，即t=（t-3），
    ∴t1==；
    b、当点P在第二象限时，如图2，四边形AOPC为凹四边形，不可能为等腰梯形；
    c、当点P在第四象限时，如图3，四边形AOPC中有一个角为直角，不可能为等腰梯形；
    ②当点B运动在OC上时．
    a、当点P在第二象限时，如图4，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
    b、当点P在第三象限时，如图5，四边形OACP为凹四边形，不可能为等腰梯形；
    c、当点P在第四象限时，如图6，若四边形OACP为等腰梯形，则AP=OC=3，
    ∵∠AHP=90°，OA=2OB，
    ∴PH=PA•sin∠PAH=3×=，即m2=-．
    ∵∠BCA=∠BAC，
    ∴BA=BC=t．
    在Rt△AOB中，AB=OB，即t=（3-t），
    ∴t2==．
    综上所述，满足要求的m、t的值分别为
    或．
    点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰梯形的性质，锐角三角函数，综合性较强，难度较大．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．
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