Question

【题目】如图，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．
（1）判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）当BD，AC满足什么条件时，四边形EFGH是正方形．（不要求证明）

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，

所以EF∥AC，且EF= AC，

同理有GH∥AC，且GH= AC，

∴EF∥GH且EF=GH，

故四边形EFGH是平行四边形．

（2）解：EH∥BD且EH= BD，

若AC=BD，则有EH=EF，

又因为四边形EFGH是平行四边形，

∴四边形EFGH是菱形，

∵AC⊥BD，

∴∠EHG=90°，

即：当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．

【解析】（1）在△ABC中，E、F分别是边AB、BC中点，得到EF∥AC，且EF= AC，GH∥AC，且GH= AC，得到四边形EFGH是平行四边形；（2）四边形EFGH是平行四边形，再由AC=BD，得出EH=EF，从而证得四边形EFGH是菱形．对角线相等，推知四边形EFGH是正方形；