Question

如图，正方形ABCD的边长为2，P是线段BC上的一个动点．以AB为直径作圆O，过点P作圆O的切线交线段AD于点F，切点为E．
（1）求四边形CDFP的周长．
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式．
（3）写出（2）中函数的自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据切线的性质，将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边，即可求得；
（2）由PF为圆O的切线，得到OE与PF垂直，由AO=OE，OF为公共边，利用“HL”的方法即可得到Rt△AOF≌Rt△EOF，故∠AOF=∠EOF，同理得到∠BOP=∠EOP，即可得到∠FOP为90°，由OE与FP垂直，根据两对对应角相等的两三角形相似得到Rt△EOF∽Rt△EPO，由相似得出对应边成比例，即可列出y与x的函数关系式，
（3）根据正方形的边长为2写出自变量x的取值范围即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=90°
∴AF、BP都是⊙O的切线
又∵PF是⊙O的切线
∴FE=FA，PE=PB
∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3=6；

（2）连接OE，
∵PF是⊙O的切线
∴OE⊥PF，
在Rt△AOF和Rt△EOF中，
∵AO=EO，OF=OF，
∴Rt△AOF≌Rt△EOF，
∴∠AOF=∠EOF，
同理∠BOP=∠EOP，
∴∠EOF+∠EOP=

1

2

×180°=90°，
∵PF是⊙O的切线，
∴OE⊥PF，
∴Rt△EOF∽Rt△EPO，
∴OE²=EP•EF，即OE²=PB•AF，
即1²=x•y，
∴y=

1

x

，

（3）∵y≤2，y=

1

x

，
∴x≥

1

2

，BC=2，
∴自变量x的取值范围是

1

2

≤x≤2．

点评：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．并多次运用直角三角形的性质，综合性强．