Question

如图1，扇形AOB中，∠AOB=120°，C为半径OA上一点，CD∥OB，交

AB

于D点．
（1）当CD=6，AC=1时，直接写出半径OB的长，以及CD与OB的大小关系；
（2）在图1中画出以OA，OB为邻边的菱形AOBE，并说明E点的位置；（不要求写菱形AOBE的画法）
（3）若将图1中扇形的圆心角∠AOB改为105°（如图2），C仍为半径OA上一点（C点不与O，A两点重合），CD∥OB，交

AB

于D点，在图2中画图说明满足CD≤OB时D点运动的范围．

Answer 1

分析：（1）过点O作OE⊥CD，连接OD，设OC=x，则可得出CE，DE的长，然后结合CE+DE=CD=6，可解出x的值，继而可得出半径的长，也可比较CD与OB的大小关系；
（2）根据∠AOB=120°，可知△AOE为等边三角形，即OA=OE，从而判断出点E在扇形上，然后结合菱形的性质，可得出点E的位置；
（3）画出图形，结合菱形与扇形的交点即可作出判断．

解答：解：（1）

过点O作OE⊥CD，连接OD，则∠OCE=180°-∠AOB=60°，
设OC=x，则OA=x+1，
在RT△OCE中，CE=OCcos∠OCE=

x

2

，
在RT△OED中，ED=

OD2-OE2

=

x2 4 +2x+1

，
又∵CD=6，
∴CE+DE=6，即

x

2

+

x2 4 +2x+1

=6，
解得：x=

35

8

，故可得半径OB=OA=x+1=5

3

8

，CD＞OB．

（2）∵∠AOB=120°，四边形AOBE是菱形，
∴△AOE是等边三角形，OA=OE，即点E在扇形OAB上，
∴AE=EB，
故可得，E点的位置是

AB

的中点．
所画菱形AOBE见图：


（3）画出以OA，OB为邻边的菱形AOBE，可知AE，BE与

AB

相交，设交点分别为G点，H点，则D点运动的范围是

GH

，且D点不与G点重合，可与H点重合．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了菱形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形四边相等的性质，第一问注意利用CD的长度建立方程，难度一般．