Question

如图，?ABCD对角线交于点O，点E是线段BO上的动点（与点B、O不重合），连接CE，过A点作AF∥CE交BD于点F，连接AE与CF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）当BA=BC=2，∠ABC=60°时，?AECF能否成为正方形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为AE∥CF，根据条件在图形中的位置，可选择利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来解决．
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，和∠ABC=60°，可求得∠AOB=90°，从而可证四边形AECF是正方形．再利用勾股定理求出BO的长．然后减去OE的长即可求得BE的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴△AFD≌△BEC，
∴AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：能．
∵BA=BC=2，
∴AC=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=1，
∵∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°（菱形的对角线互相垂直且平分），
∴四边形AECF是正方形．
∴OE=OF=AO=OC=1，
∴BO=

AB2-CO2

=

3

，
∴BE=BO-OE=

3

-1．

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．