Question

11．观察下列各式及展开式：（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴，（a+b）⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵，…，则（a+b）ⁿ（n≥2）的展开式第三项的系数是$\frac{n（n+1）}{2}$．

Answer 1

分析 根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可．

解答 解：当n=2、3、4、…时，（a+b）ⁿ展开式的第三项系数分别为$\frac{2×（2-1）}{2}$=1、$\frac{3×（3-1）}={2}$3、$\frac{4×（4-1）}={2}$6、…，
则（a+b）ⁿ展开式的第三项系数为$\frac{n（n+1）}{2}$．
故答案为：$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键．