Question

【题目】如图，是一块含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一个量角器拼在一起，三角板斜边AB与量角器所在圆的直径MN恰好重合，其量角器最外缘的读数是从N点开始（即N点的读数为0°），现有射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转到CB位置，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．

（1）当旋转7.5秒时，连接BE，试说明：BE＝CE；

（2）填空：①当射线CP经过△ABC的外心时，点E处的读数是　 　．

②当射线CP经过△ABC的内心时，点E处的读数是　 　；

③设旋转x秒后，E点出的读数为y度，则y与x的函数式是y＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x

【解析】

（1）由于是每次都旋转2°且CP的旋转决定着∠ACE和∠ABE，且二者都是从0°开始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要证明：∠CBE＝∠BCE即可证明BE＝CE；

（2）①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中心且此时有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出点E处的度数；

②当射线CP经过△ABC的内心时，内心到三边的距离相等，即CP为∠ACB的角平分线，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出点E处的度数；

③由于每次旋转的度数一样，所以旋转x秒后，∠BCE的度数为90°﹣2x，从而得出∠BOE的度数，也即可得出y与x的函数式．

（1）证明：连接BE，如图所示：

∵射线CP绕点C从CA的位置开始按顺时针方向以每秒2度的速度旋转

∴当旋转7.5秒时，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°

又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°

∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，

即：∠CBE＝∠BCE＝75°

∴BE＝CE．

（2）解：①当射线CP经过△ABC的外心时，CP经过AB的中点且此时有：CO＝AO；

∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°

∴点E处的读数是120°．

②当射线CP经过△ABC的内心时，即CP为∠ACB的角平分线，

圆周角∠BCE＝＝45°，圆心角为90°，

∴点E处的读数是90°．

③旋转x秒后，∠BCE的度数为90﹣2x，∠BOE的度数为180°﹣4x，

故可得y与x的函数式为：y＝180°﹣4x．