Question

【题目】如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．

（1）求BP、CQ、AR的长．

（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．

Answer 1

【答案】（1）BP=3，CQ=5，AR=4；（2）见解析

【解析】试题分析：（1）由角平分线性质OR=OQ，OR=OP，BR=BP，CQ=CP，根据已知联立方程组，求BP，CQ，AR.

(2) 过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，证明FON≌△EOM，可得OE=OF.

试题解析：

解：连接AO，OB，OC，

∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，

∴OR=OQ，OR=OP，

∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，

∴AR=AQ，

同理BR=BP，CQ=CP，

即O在∠ACB角平分线上，

设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，AB=7，BC=8，AC=9，

则，

x=3，y=5，z=4，

∴BP=3，CQ=5，AR=4．

（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，

∵O在∠A的平分线，

∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，

∵∠A=60°，

∴∠NOM=120°，

∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，

∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，

∴∠FON=∠EOM，

在△FON和△EOM中，

∠ONF=∠OME，ON=OM，∠FON=∠EOM，

∴△FON≌△EOM，

∴OE=OF．