Question

4．Rt△ABD的两顶点A、B分别在x轴和y轴上运动，其中∠ABD=90°，∠D=30°，AB=4，则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为48．

Answer 1

分析 要求OD的最小值，关键是作出合适的图形，然后根据三角形三边的关系可知两边之差小于第三边，两边之和大约第三边，由勾股定理和在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得BD、BC的长，从而可以求得OD的最大值和最小值，本题得以解决．

解答 解：取AB的中点C，连接OC、CD、OD，如下图所示，

∵∠ABD=90°，∠D=30°，AB=4，
∴AD=8，OC=BC=AC=2，BD=$\frac{AB}{tan30°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}$，
∴$CD=\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{13}$，
∴CD-OC≤OD≤CD+OC，
∴$2\sqrt{13}-2≤OD≤2\sqrt{13}+2$，
∵$（2\sqrt{13}+2）（2\sqrt{13}-2）=（2\sqrt{13}）^{2}-{2}^{2}$=52-4=48，
即顶点D到原点O的距离的最大值和最小值的乘积为48，
故答案为：48．

点评 本题考查勾股定理、坐标与图形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．