Question

11．如图，已知l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，⊙O的半径为2cm，矩形ABCD的边AD、AB分别与l₁，l₂重合，AC=8cm，AD=4cm，若⊙O与矩形ABCD沿l₁同时向右移动，⊙O的移动速度为3cm，矩形ABCD的移动速度为4cm/s，设移动时间为t（s）．

（1）如图①，连接OA，则∠OAC的度数为105°；
（2）如图②，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O₁的位置，矩形ABCD到达A₁B₁C₁D₁的位置，此时点O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离（即OO₁的长）；
（3）在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，当直线AC与⊙O第一次相切时，求移动时间t₁．（解答时可以利用备用图画出相关示意图）

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠OAD=45°，∠DAC=60°，进而得出答案；
（2）首先求出∠C₁A₁D₁=60°，再利用A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，求出t的值，进而得出OO₁=3t得出答案即可；
（3）由（2）得出∠C₂A₂D₂=60°，∴∠GA₂F=120°，求出∠O₂A₂F=60°，在Rt△A₂O₂F中，O₂F=2，求出A₂F=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，由OO₂=3t₁，AF=AA₂+A₂F=4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵l₁⊥l₂，⊙O与l₁，l₂都相切，
∴∠OAD=45°，
∵四边形ABCD是矩形，AC=8cm，
∴∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD=4cm，CD=AB，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$cm，
∴tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{4\sqrt{3}}{4}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAC=60°，
∴∠OAC=∠OAD+∠DAC=105°，
故答案为：105；故答案为：105；

（2）如图位置二，当O₁，A₁，C₁恰好在同一直线上时，设⊙O₁与l₁的切点为E，
连接O₁E，可得O₁E=2，O₁E⊥l₁，
在Rt△A₁D₁C₁中，∵A₁D₁=4，C₁D₁=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠C₁A₁D₁=$\sqrt{3}$，
∴∠C₁A₁D₁=60°，
在Rt△A₁O₁E中，∠O₁A₁E=∠C₁A₁D₁=60°，
∴A₁E=$\frac{2}{tan60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵A₁E=AA₁-OO₁-2=t-2，
∴t-2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+2，
∴OO₁=3t=2$\sqrt{3}$+6；即圆心O移动的距离为2$\sqrt{3}$+6；

（3）当直线AC与⊙O第一次相切时，移动时间为t₁，
如图位置一，此时⊙O移动到⊙O₂的位置，矩形ABCD移动到A₂B₂C₂D₂的位置，
设⊙O₂与直线l₁，A₂C₂分别相切于点F，G，连接O₂F，O₂G，O₂A₂，
∴O₂F⊥l₁，O₂G⊥A₂C₂，
由（2）得，∠C₂A₂D₂=60°，
∴∠GA₂F=120°，
∴∠O₂A₂F=60°，
在Rt△A₂O₂F中，O₂F=2，
∴A₂F=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OO₂=3t₁，AF=AA₂+A₂F=4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴4t₁+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-3t₁=2，
∴t₁=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质、锐角三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和切线的性质是解决问题的关键．