分析 (1)连接OC,由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°,再利用∠BAC=∠ACO,得出结论,
(2)连接OC,得出△AEC是直角三角形,△AEC的外接圆的直径是AC,利用△ABC∽△CDE,求出AC.
解答 (1)证明:如图,连接OC,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
又∵CM是⊙O的切线,
∴OC⊥CM,
∴∠ACM+∠ACO=90°,
∵CO=AO,
∴∠BAC=∠ACO,
∴∠ACM=∠ABC;
(2)解:∵BC=CD,∠ACB=90°,
∴∠OAC=∠CAD,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCA=∠CAD,
∴OC∥AD,
又∵OC⊥CE,
∴AD⊥CE,
∴△AEC是直角三角形,
∴△AEC的外接圆的直径是AC,
又∵∠ABC+∠BAC=90°,∠ACM+∠ECD=90°,
∴△ABC∽△CDE,
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{ED}$,
⊙O的半径为3,
∴AB=6,
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{2}$,
∴BC2=12,
∴BC=2$\sqrt{3}$,
∴AC=$\sqrt{36-12}$=2$\sqrt{6}$.
点评 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质.解题的关键是找准角的关系.
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