Question

【题目】如图1，该抛物线是由y＝x2平移后得到，它的顶点坐标为（﹣，﹣），并与坐标轴分别交于A，B，C三点．

（1）求A，B的坐标．

（2）如图2，连接BC，AC，在第三象限的抛物线上有一点P，使∠PCA＝∠BCO，求点P的坐标．

（3）如图3，直线y＝ax+b（b＜0）与该抛物线分别交于P，G两点，连接BP，BG分别交y轴于点D，E．若ODOE＝3，请探索a与b的数量关系．并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）b＝4a+3，理由见解析．

【解析】

（1）根据顶点坐标写出顶点式，化顶点式为一般式，分别令x=0或y=0即可求出A、B的坐标；

（2）直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，根据tan∠BCO＝tan∠PCA解直角三角形即可求出H点坐标，由此可求得直线CH的表达式，联立二次函数解析式即可求得点P坐标；

（3）直线BP的表达式为：y=（m+4）x-（m+4）、直线BG的表达式为：y=（n+4）x-（n+4），故OD=-（m+4），OE=（n+4），ODOE=-（m+4）（n+4）=3，即-[mn+4（m+n）+16]=3，而m+n=a-3，mn=-b-4，即可求解．

解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+）2﹣＝x2+3x﹣4…①，

令x＝0，则y＝﹣4，故点C（0，﹣4）；

令y＝0，则x＝-4或1，

故点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0）；

（2）如图，设直线CP交x轴于点H，故点H作HG⊥AC交AC的延长线于点G，

tan∠BCO＝＝＝tan∠PCA，

∵OA＝OC＝4，故∠BAC＝45°＝∠GAH，

设GH＝GA＝x，则GC＝4x，故AC＝GC﹣GA＝3x＝4，

解得：x＝，

则AH＝x＝，故点H（﹣，0），

设CH的表达式为：y＝kx+b，

将C、H的坐标代入得，解得，

∴CH的表达式为：y＝﹣x﹣4…②，

联立①②并解得：x＝0（舍去）或，

故点P（﹣，﹣）；

（3）设点P、G的坐标分别为：（m，m2+3m﹣4）、（n，n2+3n﹣4），

由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：y＝（m+4）x﹣（m+4）；

同理直线BG的表达式为：y＝（n+4）x﹣（n+4）；

故OD＝﹣（m+4），OE＝（n+4），

直线y＝ax+b（b＜0）…③，

联立①③并整理得：x2+（3﹣a）x﹣b﹣4＝0，

故m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，

ODOE＝﹣（m+4）（n+4）＝3，

即﹣[mn+4（m+n）+16]＝3，而m+n＝a﹣3，mn＝﹣b﹣4，

整理得：b＝4a+3．