Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=8k，BC=5k（k为常数，且k＞0），动点P在AB边上（点P不与A、B重合），点Q、R分别在BC、DA边上，且AP：BQ：DR=3：2：1．点A关于直线PR的对称点为A′，连接PA′、RA′、PQ．

（1）若k=4，PA=15，则四边形PARA′的形状是；
（2）设DR=x，点B关于直线PQ的对称点为B′点．
①记△PRA′的面积为S1 ， △PQB′的面积为S2 ． 当S1＜S2时，求相应x的取值范围及S2﹣S1的最大值；（用含k的代数式表示）
②在点P的运动过程中，判断点B′能否与点A′重合？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）正方形
（2）

解：①由题意可知，BQ=2x，PA=3x，AR=5k﹣x，BP=8k﹣3x，

∵S1=S△PRA= ARAP= （5k﹣x）3x=﹣ x2+ kx，

S2=S△PQB= BPBQ= （8k﹣3x）2x=﹣3x2+8kx，

由S1＜S2可得，﹣ x2+ ＜﹣3x2+8kx，

∵x＞0，

∴x取值范围为0＜x＜ k，

∴S2﹣S1=﹣ x2+ kx=﹣ （x﹣ ）2+ k2，

∴当x= 时，S2﹣S1有最大值，最大值为 k2．

②点B'不能与点A'重合．理由如下：如图，

假设点B'与点A'重合，则有∠APR+∠A'PR+∠B'PQ+∠BPQ=180°，

由对称的性质可得，∠A'PR=∠APR，∠B'PQ=∠BPQ，

∴∠APR+∠BPQ= ×180°=90°，

由∠A=90°可得，∠APR+∠PRA=90°，

∴∠PRA=∠BPQ，

又∵∠A=∠B=90°

∴Rt△PAR∽Rt△QBP，

∴ ，即PABP=ARQB．

∴3x（8k﹣3x）=（5k﹣x）2x，解得，x1=0（不合题意舍去），x2=2k，

又∵PA=PA'，PB=PB'=PA'，

∴PA=PB，

∴3x=8k﹣3x，解得x= k≠2k，

故点B'不能与点A'重合．

【解析】解：（1）∵k=4，PA=15，AP：BQ：DR=3：2：1，
∴DR=5，BC=AD=20，AR=AP=15，
∵A、A′关于PR对称，
∴RA=RA′=PA=PA′，
∴四边形PARA′是菱形，
∵∠A=90°，
∴四边形PARA′是正方形．
故答案为正方形；
（1）先证明四边形PARA′是菱形，再根据∠A=90°，可以推出四边形PARA′是正方形．（2）①分别求出S1 ， S2 ， 根据S1＜S2 ， 确定自变量取值范围，再构建S2﹣S1关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可解决问题．
②点B'不能与点A'重合，利用反证法即可证明．