Question

如图，直线y₁=mx+4与x轴、y轴分别交于A点、B点，且与反比例函数y₂=在第一象限的图象有唯一的公共点P，若S_△OAB=4，则k=    ．

Answer 1

【答案】分析：对于一次函数y₁=mx+4，令x=0求出y的值，确定出B的坐标，进而确定出OB的长，由三角形AOB的面积等于两直角边OA与OB乘积的一半，根据OB与已知的面积求出OA的长，进而确定出A的坐标，将A的坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出一次函数解析式，将一次函数解析式与反比例解析式联立组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，根据两函数有唯一的交点P，得到根的判别式的值等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：对于直线y₁=mx+4，
令x=0，解得：y=4，故B（0，4），即OB=4，
∵S_△OAB=OA•OB=×4OA=4，
∴OA=2，即A（2，0），
将A坐标代入y₁=mx+4得：0=2m+4，即m=-2，
∴y₁=-2x+4，
将两函数解析式联立得：，
消去y得：-2x+4=，即2x²-4x+k=0，
∵两函数在第一象限的图象有唯一的公共点P，
∴b²-4ac=16-8k=0，
解得：k=2．
故答案为：2
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积公式，待定系数法是数学中重要的思想方法，学生做题时注意灵活运用．