已知:如图(1),△OAB是边长为2的等边三角形,0A在x轴上,点B在第一象限内;△OCA是一个等腰三角形,OC=AC,顶点C在第四象限,∠C=120°.现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
1.求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
2.在OA上(点O、A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
3.如图(2),现有∠MCN=60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
1.过点作于点.(如图①)
∵,,∴.
∵,, ∴.
在Rt中,
当时,,,;
过点作于点.(如图①)
在Rt中,∵,∴,
∴.
即 .………………………………………2分
2.当时,(如图②)
,.
∵,,∴.
∴.
即.
故当时,,当时,……………4分
或 …………………6分
3.的周长不发生变化.
延长至点,使,连结.(如图③)
∵,∴≌.
∴, …………………7分
∴.
∴. 又∵.
∴≌.∴ ……………………………………9分
∴.
∴的周长不变,其周长为4 ……………………………………10分
【解析】(1)由于点Q从点O运动到点C需要 秒,点P从点A→O→B需要 秒,所以分两种情况讨论:①0<t< ;② ≤t<.针对每一种情况,根据P点所在的位置,由三角形的面积公式得出△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并且得出自变量t的取值范围
(2)如果△OCD为等腰三角形,那么分D在OA边或者OB边上两种情形.每一种情形,都有可能O为顶点,C为顶点,D为顶点,分别讨论,得出结果;
(3)如果延长BA至点F,使AF=OM,连接CF,则由SAS可证△MOC≌△FAC,得出MC=CF,再由SAS证出△MCN≌△FCN,得出MN=NF,那么△BMN的周长=BA+BO=4.
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