Question

20．如图，AB为⊙O的直径，点M为半圆的中点，点P为另一半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，IN⊥BP于N．
（1）求证：∠APM=45°；
（2）求证：AB=$\sqrt{2}$IM；
（3）试探究$\frac{IN+OB}{PM}$的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．

Answer 1

分析 （1）连接OM．根据“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行解答，即可证得结论；
（2）连接AM、BM．根据三角形PIB的外角定理、三角形的内心的定义证得△MBI的两边MB=IM；根据勾股定理求得AB=$\sqrt{2}$MB．易证该结论；
（3）根据直角三角形内切圆半径公式、圆的半径与直径是数量关系求得IN+OB=$\frac{1}{2}$（AP+BP）；然后过点A作AG⊥PM于点G，过点B作BH⊥PM于点H，连接AM，BM，易得△APG与△BPH是等腰直角三角形且△AMG≌△MBH，继而求得AP+BP=$\sqrt{2}$（PH+MH）=$\sqrt{2}$PM，继而求得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OM．
∵点M是半圆的中点，
∴∠AOM=90°．
∵∠APM=$\frac{1}{2}$∠AOM，
∴∠APM=45°；

（2）证明：如图1，连接AM、BM．
∵点M是半圆的中点，
∴$\widehat{AM}$=$\widehat{BM}$，
∴AM=BM，
∵∠AOM=90°，
∴AB=$\sqrt{2}$MB．
∵∠ABM=$\frac{1}{2}$AOM=45°，∠BPI=$\frac{1}{2}$∠BOM=45°，
∴∠ABM=∠BPI，
∵点I为△ABP的内心，
∴∠ABI=∠PBI，
∵∠MIB=∠BPI+∠PBI，∠MBI=∠ABM+∠ABI，
∴∠MIB=∠MBI，
∴MB=IM．
∴AB=$\sqrt{2}$IM；

（3）不变．理由：
解：根据直角三角形内切圆半径公式知，IN=$\frac{AP+BP-AB}{2}$，则IN+OB=$\frac{1}{2}$（AP+BP），
如图2，过点A作AG⊥PM于点G，过点B作BH⊥PM于点H，连接AM，BM，
则△APG与△BPH是等腰直角三角形，∠AGM=∠MHB=90°，
∴PB=$\sqrt{2}$PH，PA=$\sqrt{2}$AG，
∵∠AMG+∠BMH=∠AMG+∠MAG=90°，
∴∠MAG=∠BMH，
在△AMG和△MBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGM=∠MHB}\\{∠MAG=∠BMH}\\{AM=MB}\end{array}\right.$，
∴△AMG≌△MBH（AAS），
∴AG=MH，
∴PA=$\sqrt{2}$MH，
∴AP+BP=$\sqrt{2}$（PH+MH）=$\sqrt{2}$PM，
∴$\frac{IN+OB}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了圆的综合题．本题涉及到的知识点有：圆周角定理，直角三角形的内切圆半径公式，三角形的内切圆的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．