Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．

（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．
（2）若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．
（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为 ：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．

∵OE=OA，α=60°，

∴△AEO为正三角形，

∴OH=3，EH= =3 ．

∴E（﹣3，3 ）．

∵∠AOM=90°，

∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，

∵cos∠EOM= ，

即 = ，

∴OM=4 ．

∴M（0，4 ）．

设直线EF的函数表达式为y=kx+4 ，

∵该直线过点E（﹣3，3 ），

∴﹣3k+4 =3 ，

解得k= ，

所以，直线EF的函数表达式为y= x+4

（2）

解：如图2，

射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα ）．

无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方

形OEFG的顶点E在射线OQ上，

∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．

在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，

∴a2+（2a）2=62，解得a1= ，a2=﹣ （舍去），

∴OE=2a=

，∴S正方形OEFG=OE2=

（3）

解：设正方形边长为m．

当点F落在y轴正半轴时．

如图3，

当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有 = 或 = ．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，

∴点P1的坐标为（0，6）．

在图3的基础上，

当减小正方形边长时，

点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为 ：1；

当增加正方形边长时，存在 = （图4）和 = （图5）两种情况．

如图4，

△EFP是等腰直角三角形，

有 = ，

即 = ，

此时有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，

∴OE= OA=6 ，

∴PE= OE=12，PA=PE+AE=18，

∴点P2的坐标为（﹣6，18）．

如图5，

过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．

在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，

当 = 时，

∴PO2=2PE2．

∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．

∵EO∥PH，

∴△AOE∽△AHP，

∴ = ，

∴AH=4OA=24，

即OH=18，

∴m=9 ．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR= PH=36，

∴OR=RH﹣OH=18，

∴点P3的坐标为（﹣18，36）．

当点F落在y轴负半轴时，

如图6，

P与A重合时，在Rt△POG中，OP= OG，

又∵正方形OGFE中，OG=OE，

∴OP= OE．

∴点P4的坐标为（﹣6，0）．

在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中

两边之比不可能为 ：1；当正方形边长增加时，存在 = （图7）这一种情况．

如图7，过P作PR⊥x轴于点R，

设PG=n．

在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，

在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．

当 = 时，

∴PE2=2PO2．

∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，

∴n=2m，

由于NG=OG=m，则PN=NG=m，

∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴ =1，

即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON= m，

∴12= m，

∴m=6 ，

在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，

∴点P5的坐标为（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中两边的比能为 ：1，点P的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18），

P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）

【解析】（1）先判断出△AEO为正三角形，再根据锐角三角函数求出OM即可；（2）判断出当AE⊥OQ时，线段AE的长最小，用勾股定理计算即可；（3）由△OEP的其中两边之比为 ：1分三种情况进行计算即可．此题是正方形的性质题，主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是灵活运用勾股定理进行计算．