Question

扇形AOB中，OA、OB是半径，且∠AOB=90°，OA=6，点C是AB上异于A、B的动点。过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE.
（1）求证：OG=CH；
（2）当点C在AB上运动时，线段DE的长是否为定值？若为定值，请求出该值；否则，请说明理由；
（3）设CH，CD，求与之间的函数关系式.

Answer 1

（1）证明：如右图，∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，∴四边形OECD是矩形。
∴OD=EC，且OD//EC，∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH.   
  （2）解：线段DE的长度是定值。
连接OC,点C是AB上的点，OA=6。∴OC=OA=6
∵四边形OECD是矩形，∴ DE=OC=6
（3）解：如图，过点H作HF⊥CD于点F，

∵EC⊥CD，∴HF//EC
∴△DHF∽△DEC， ∴，∴
从而CF=CD－FD
在Rt△CHF中，CH=HF+CF，∴
在Rt△HFD中，HF=DH－DF=
∴ 
∴

(1)先证得四边形OECD是矩形.再有DG=EH,即可得到△ODG≌△CEH，从而OG=CH；
(2)连接矩形OECD的对角线OC,根据矩形的对角线相等,可得DE=OC=6；
(3)过点H作HF⊥CD,得到△DHF∽△DEC,根据对应边成比例,得到DF,从而得到CF，在Rt△CHF和在Rt△HFD中利用勾股定理即可表示出与之间的函数关系式。