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【题目】如图,在△ABC中,∠C90°AC12cmBC16cmDE分别是ACAB的中点,连接DE.点P从点D出发,沿DE方向匀速运动,速度为2cm/s;同时,点Q从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为4cm/s,当点P停止运动时,点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t0t4s.解答下列问题:

1)当t为何值时,以点EPQ为顶点的三角形与△ADE相似?

2)当t为何值时,△EPQ为等腰三角形?

【答案】1ss;(2t13

【解析】

1)①当PQAB时,△PQE是直角三角形.证明△PQE∽△ACB,将PEQE用时间t表示,由三角形对应线段成比例的性质即可求出t值;②当PQDE时,证明△PQE∽△DAE,将PEQE用时间t表示,利用三角形对应线段成比例的性质即可求出t值;

2)分三种情形讨论,①当点Q在线段BE上时,EPEQ;②当点Q在线段AE上时,EQEP;③当点Q在线段AE上时,EQQP;④当点Q在线段AE上时,PQEP,分别列出方程即可解决问题.

解:(1)在RtABC中,AC12cmBC16cm

AB20cm

DE分别是ACAB的中点.

ADDC6cmAEEB10cmDEBCDEBC8cm

①如图1中,PQAB时,

∵∠PQB=∠ADE90°,∠AED=∠PEQ

∴△PQE∽△ADE

由题意得:PE82tQE4t10

解得t

②如图2中,当PQDE时,△PQE∽△DAE

t

∴当tss时,以点EPQ为顶点的三角形与△ADE相似.

2)①如图3中,当点Q在线段BE上时,由EPEQ,可得82t104tt1

②如图4中,当点Q在线段AE上时,由EQEP,可得82t4t10,解得t3

③如图5中,当点Q在线段AE上时,由EQQP,可得 82t):(4t10)=45,解得t

④如图6中,当点Q在线段AE上时,由PQEP,可得 4t10):(82t)=45,解得t

综上所述,t13 秒时,△PQE是等腰三角形.

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