Question

9．如图所示，∠BAB₁=∠CAC₁=90°，AB=AB₁，AC=AC₁，B₁在CC₁上．
求证：（1）BC=B₁C₁          
（2）BC⊥CC₁ ．

Answer 1

分析 （1）根据题意只要证明△ABC≌△AB₁C₁即可．
（2）由△ABC≌△AB₁C₁得到∠ACB=∠AC₁B₁=45°，不难证明BC⊥B₁C₁．

解答 证明：（1）∵∠BAB₁=∠CAC₁ ，
∴∠BAB₁-∠CAB₁=∠CAC₁ -∠CAB₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，
在△ABC和△AB₁C₁中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=A{B}_{1}}\\{∠BAC=∠{B}_{1}A{C}_{1}}\\{AC=A{C}_{1}}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△B₁AC₁ （SAS），
∴BC=B₁C₁ （全等三角形的对应边相等），
（2）∵AC=AC₁，∠CAC₁=90°，
∴∠ACC₁=∠AC₁C=45°，
∵△BAC≌△B₁AC₁，
∴∠ACB=∠AC₁C=45°，
∴∠BCC₁=∠ACB+∠ACC₁=90°，
∴BC⊥B₁C₁．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，寻找全等三角形是解决问题的关键．