Question

18．如图，抛物线y=x²-3x交x轴的正半轴于点A，点B（$-\frac{1}{2}$，a）在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC，以AB、BC为邻边作□ABCD，记点C纵坐标为n，
（1）求a的值及点A的坐标；
（2）当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；
（3）记CD与抛物线的交点为E，连接AE，BE，当△AEB的面积为7时，n=$\frac{19}{4}$．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）将x=-$\frac{1}{2}$，y=a代入抛物线的解析式可求得a的值，求得方程x²-3x=0的解可得到点A的横坐标；
（2）过D作DG⊥y轴于G，BH⊥x轴于H．先证明△ABH≌△DCG，从而得到CG=BH=$\frac{7}{4}$，DG=AH═$\frac{7}{2}$，然后由x_D=OF+DG可求得点D的横坐标，然后将x=5代入抛物线的解析式可求得点D的纵坐标，最后由点D的坐标可得到点C的纵坐标；
（3）连结AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．先证明△AFG∽△ABH，依据相似三角形的性质可求得GF=$\frac{3}{4}$，则CF=n-$\frac{3}{4}$，然后依据S_△ABC=$\frac{1}{2}$FC•AH=7可得到关于n的方程，从而可求得n的值．

解答 解：（1）当x=-$\frac{1}{2}$时，a=（-$\frac{1}{2}$）²-3×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$．
∴B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{4}$）．
由x²-3x=0，得x₁=0（舍去），x₂=3．
∴A（3，0）．

（2）如图1所示：过D作DG⊥y轴于G，BH⊥x轴于H．

∵ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB．
∴∠DCG=∠AEF．
∵BH∥EF，
∴∠HBA=∠FEA．
∴∠HBA=∠DCG．
在△ABH和△DCG中$\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠DCG}\\{∠CGD=∠BHA}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DCG．
∴CG=BH=$\frac{7}{4}$，DG=AH=$\frac{1}{2}$+3=$\frac{7}{2}$．
∴x_D=OF+DG=$\frac{3}{2}$+$\frac{7}{2}$=5．
将x=5代入抛物线的解析式得：y=10．
∴n=10+$\frac{7}{4}$=$\frac{47}{4}$．

（3）如图2所示：连结AC，过点B作BH⊥OA，垂足为H．

∵DC∥BA，
∴S_△ABE=S_△BAC．
由（2）可知：AG=$\frac{3}{2}$，AH=$\frac{7}{2}$，BH=$\frac{7}{4}$．
∵GF∥BH，
∴△AFG∽△ABH．
∴$\frac{GF}{BH}$=$\frac{AG}{AH}$，即$\frac{GF}{\frac{7}{4}}$=$\frac{3}{7}$，解得：GF=$\frac{3}{4}$．
∴CF=n-$\frac{3}{4}$．
∵S_△ABE=S_△ABC=$\frac{1}{2}$FC•AH，
∴$\frac{1}{2}$×（n-$\frac{3}{4}$）×$\frac{7}{2}$=7，解得n=$\frac{19}{4}$．
故答案为：$\frac{19}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，三角形的面积公式，求得点D的坐标是解答问题（2）的关键，依据S_△ABE=S_△ABC=$\frac{1}{2}$FC•AH列出关于n的方程解答问题（3）的关键．