Question

如图，?ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=

1

2

CD．
（1）求证：AB：CE=AF：BC；
（2）若△DEF的面积为3，求：?ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）利用“两角法”证得△ABF∽△CEB，则该相似三角形的对应边成比例，即AB：CE=AF：BC；
（2）根据AD∥BC，AB∥CD，即可判定△EDF∽△ECB，△DEF∽△ABF，根据DE=

1

2

DC即可求得△BCE的面积和△ABF的面积，即可计算平行四边形的面积．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠ABF=∠CEB，
∴△ABF∽△CEB．                    
∴AB：CE=AF：BC；
                      
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∵DE=

1

2

CD，∴DE=

1

3

EC，DE=

1

2

AB
∴

S△DEF

S△CEB

=(

DE

EC

)2=

1

9

，

S△DEF

S△ABF

=(

DE

AB

)2=

1

4

，
∵△DEF的面积为3，
∴S_△BCE=27，S_△ABF=12，
∴S_{四边形BCDF}=S_△BCE-S_△DEF=24，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BCDF}+S_△ABF=24+12=36．

点评：本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求△BCE的面积和△ABF的面积是解题的关键．