Question

设方程组

y2-x-1=0 x=3y+m

的解是

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

，x₁≠x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）是否存在这样的实数m，使点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）在同一反比例函数的图象上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将x=3y+m代入上面的方程，根据根的判别式求出m的取值范围．
（2）先假设点（x₁，y₁）和点（x₂，y₂）在同一反比例函数的图象上，用反证法证明即可．

解答：解：（1）y²-3y-m-1=0，∵x₁≠x₂，x=3y+m，
∴y₁≠y₂∴△=3²+4（m+1）＞0，∴m＞-

13

4

（5分）
（2）不存在．
∵点（x₁，y₁）和点（x₁，y₁）在同一反比例函数的图象上在
∴x₁y₁=x₂y₂，∴y₁（3y₁+m）=y₂（3y₂+m），
∴（y₁-y₂）[3（y₁+y₂）+m]=0，∵y₁≠y₂，
∴3（y₁+y₂）+m=0，∴m=-9，（5分）
不存在
注：无∵x₁≠x₂，x=3y+m，∴y₁≠y₂扣（2分）

点评：本题主要考查高次方程根与系数的关系以及反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．