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矩形ABCD中,AB=8,AD=6,P,Q是对角线BD上不重合的两点,点P关于直线AD,AB的对称点分别是点E、F,点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H.若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形,则PQ的长为
(  )
A、2.8B、4.2
C、5.6D、7
考点:菱形的判定
专题:
分析:根据轴对称求出AE=AF=AP,求出A、B、C、D都在菱形EFGH的边上,求出OA=AP=5,根据勾股定理求出ON,求出OP、OQ,即可得出答案.
解答:
解:矩形ABCD中,AB=8,AD=6,由勾股定理得:AC=BD=10,
如图,根据轴对称性质得:∠PAF+∠PAE=90°+90°=180°,
即A在菱形EFGH的边EF上,
同理B、C、D都在菱形EFGH的边上,
∵AP=AF=AE,即A为EF的中点,
同理C为GH的中点,
∵四边形EFGH是菱形,
∴AF=CG,AF∥CG,
∴四边形AFGC是平行四边形,
∴FG=AC=10,
∵AE=AF=AP,
∴AP=5,
∵AO=
1
2
AC=5,
∴AO=AP,
∴△APO是等腰三角形,
过A作AN⊥BD于N,
则N为OP的中点,
在Rt△DAB中,由三角形的面积公式得:AN×AB=×AD×AB,
∴AN=4.8,
由勾股定理得:ON=
52-4.82
=1.4,
则OP=2.8,
同理OQ=2.8,
所以PQ=2.8+2.8=5.6,
故选C.
点评:本题考查了轴对称性质,矩形的性质,勾股定理,三角形的面积的应用,能综合运用知识解题是解此题的关键,题目比较典型,但有一定的难度.
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4
5
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,cosβ=
 

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6

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