Question

如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，定点CD在第二象限。将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B₁、C₁、D₁，且D、C₁、O三点在一条直线上，记点D₁的坐标是（m，n）。
（1）设∠DAD₁=30°，n=，
①求正方形ABCD的边长；
②求直线D₁C₁的解析式；
（2）若∠DAD₁<90°，m，n满足m+n=-2，点C₁和点O之间的距离是，求直线D₁C₁的解析式。

Answer 1

解：（1）①过D₁作D₁E⊥x轴于E，
∵∠DAD₁=30°，AD∥D₁E，
∴∠AD₁E=30°，
又n=，
∴AD₁=2，即正方形ABCD的边长为2；
②∵∠DAD₁=30°，
∴∠B₁AO=30°=∠DAD₁=30°，
∴直线D₁C₁的解析式为y=-tan30°x，即y=-x；
（2）如图，过C₁作直线GF∥y轴，交D₁F于F，其中D₁F∥x轴，
∵AD₁=D₁C₁，∠D₁EA=∠D₁FC₁=90°，∠D₁AE=∠D₁C₁F
∴△D₁AE≌△D₁C₁F
∴D₁E= D₁F
又m+n=-2，
∴G（-2，0）
而OC₁=，
∴GC₁=1①
由△OC₁G∽△OD₁E
得，
即，
C₁G=②
联立①、②得：，
直线D₁C₁的解析式为y=-x。