Question

已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．

（1）试确定直线BC的解析式．

（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得A点坐标（﹣4﹐0），B点坐标（0﹐4﹚，

∵OA=4OB=4，

∴∠BAO=60°，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵OC=OA=4，

∴C点坐标﹙4，0﹚，

设直线BC解析式为y=kx﹢b，

，

∴，

∴直线BC的解析式为y=﹣；（2分）

﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．

∵，

∴，

∴QH=t

∴S_△APQ=AP•QH=t•t=t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）

同理可得S_△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）

（3）存在，

（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）