Question

18．如图，已知抛物线y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的解析式；
（2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连接AD，若∠MDA=∠ABD，求D点的坐标；
（3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；
（2）首先设点D的坐标为（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），由∠MDA=∠ABD，可得△MDA∽△MBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算．

解答 解：（1）抛物线y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4），
令y=0，解得x=-2或x=4，
∴A（-2，0），B（4，0）．
∵直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b经过点B（4，0），
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×4+b=0，解得b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴直线BD解析式为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
当x=-5时，y=3$\sqrt{3}$，
∴D（-5，3$\sqrt{3}$）．
∵点D（-5，3$\sqrt{3}$）在抛物线y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）上，
∴$\frac{k}{8}$（-5+2）（-5-4）=3$\sqrt{3}$，
∴k=$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．
∴抛物线的函数表达式为：y=$\frac{\sqrt{3}}{9}$（x+2）（x-4）．

（2）设点D的坐标为（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴DM=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，BM=4-x，AM=-2-x，
∵∠MDA=∠ABD，∠AMD=∠DMB，
∴△MDA∽△MBD，
∴$\frac{MD}{MB}$=$\frac{MA}{MD}$，
∴$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}}{4-x}$=$\frac{-2-x}{-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{4\sqrt{3}}{3}}$，
解得：x=-5或x=4（舍去）；
∴D点的坐标为：（-5，3$\sqrt{3}$）；

（3）由抛物线解析式，令x=0，得y=-k，
∴C（0，-k），OC=k．
∵点P在第一象限内的抛物线上，
∴∠ABP为钝角．
∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．
tan∠BAC=tan∠PAB，即：$\frac{k}{2}$=$\frac{y}{x+2}$，
∴y=$\frac{k}{2}$x+k．
∴P（x，$\frac{k}{2}$x+k），代入抛物线解析式y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4），
得$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）=$\frac{k}{2}$x+k，整理得：x²-6x-16=0，
解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AB}{AP}$，即$\frac{\sqrt{{k}^{2}+4}}{6}$=$\frac{6}{\sqrt{25{k}^{2}+100}}$，
解得：k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图3所示．
与①同理，可求得：k=$\sqrt{2}$．
综上所述，k=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$或k=$\sqrt{2}$．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了二次函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质等知识．注意第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧．