Question

5．如图，直线y=2x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，抛物线y=ax²-3ax+c过点B、C，且与x轴另一个交点为A，过点C作x轴的平行线l，交抛物线于点G．
（1）求抛物线的解析式以及点A、点G的坐标；
（2）设直线x=m交x轴于点E（m＞0），且同时交直线AC于点M，交l于点F，交抛物线于点P，请用含m的代数式表示FM的长、PF的长；
（3）当以P、C、F为顶点的三角形与△MEA相似时，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）首先求出B，C点坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用图象上点的坐标性质得出答案；
（2）利用PF分两类：①当0＜m＜3时，②当m≥3时，分别得出PF的长；
（3）当△PCF与△MEA相似时，P点位置分两种情况：（i）P在G左侧，（ii）P在G右侧，分别得出答案．

解答 解：（1）∵直线y=2x+4与x轴、y轴相交于B、C两点，
∴x=0，y=4；y=0，则x=-2，
故B（-2，0），C（0，4），
将B，C代入y=ax²-3ax+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a+6a+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{5}}\\{c=4}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：$y=-\frac{2}{5}{x^2}+\frac{6}{5}x+4$，
则x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴A（5，0）、
当y=4，则4=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4，
解得：x₁=0，x₂=3，
故G（3，4）；

（2）∵AC为$y=-\frac{4}{5}x+4$，点M（$m\;\;，\;-\frac{4}{5}m+4$），FM=$\frac{4}{5}m$，
∵P（m，$-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m+4$），PF分两类：①当0＜m＜3时，PF=-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4-4=$-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m$，
②当m≥3时，PF=4-（-$\frac{2}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x+4）=$\frac{2}{5}{m^2}-\frac{6}{5}m$；

（3）当△PCF与△MEA相似时，P点位置分两种情况：
（i）P在G左侧，（ii）P在G右侧：
（i）P在G左侧，两个Rt三角形相似有两种情况：①∠PCF=∠MAE；②∠CPF=∠MAE
①∠PCF=∠MAE时，$\frac{PF}{CF}=\frac{ME}{AE}=\frac{OC}{OA}=\frac{4}{5}$，则$\frac{{-\frac{2}{5}{m^2}+\frac{6}{5}m}}{m}=\frac{4}{5}$，
解得：m=1，
②∠CPF=∠MAE时，$\frac{CF}{PF}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$-\frac{1}{8}$（舍去）
（ii）P在G右侧，分两种：
①∠PCF=∠MAE时，$\frac{PF}{CF}=\frac{4}{5}$则$\frac{{\frac{2}{5}{m^2}-\frac{6}{5}m}}{m}=\frac{4}{5}$，
解得：m=5（舍去）
②∠CPF=∠MAE时，$\frac{CF}{PF}=\frac{4}{5}$，
解得：m=$\frac{49}{8}$，
综上所述，当以P、C、F为顶点的三角形与△MEA相似时，m=1或  m=$\frac{49}{8}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键，注意不要漏解．