Question

如图，在△ABC中，AB=AC=12，BC=6，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠BEC=∠ACB，BE的延长线与边AC相交于点F．
（1）求证：BE•CD=BD•BC；
（2）设AD=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果AD=3，求线段BF的长．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，得∠ABC=∠ACB，而∠BEC=∠ACB，可得∠BEC=∠ABC，再加上公共角可得△CBE∽△CDB，写出相似比即可．
（2）由△CBE∽△CDB，得∠CBE=∠CDB，得到△FCB∽△CBD，有

FC

CB

=

CB

BD

，而BD=AB-AD=12-x，得到FC=

36

12-x

．而
AF=AC-CF，即可得到y=12-

36

12-x

．
（3）过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，则cos∠ACG=

CH

CF

=

CG

AC

，而AD=3，CF=

36

12-3

=4，CG=

1

2

BC=3．可计算出CH=1，在Rt△CFH中利用勾股定理计算出FH，再在Rt△BFH利用勾股定理即可计算出BF．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BEC=∠ACB，
∴∠BEC=∠ABC．
又∵∠BCE=∠DCB，
∴△CBE∽△CDB．
∴

CB

CD

=

BE

DB

．
即BE•CD=BD•BC．

（2）解：∵△CBE∽△CDB，
∴∠CBE=∠CDB．
又∵∠FCB=∠CBD．
∴△FCB∽△CBD．
∴

FC

CB

=

CB

BD

，
∵BD=AB-AD=12-x，
∴

FC

6

=

6

12-x

，
∴FC=

36

12-x

．
∵AF=AC-CF，
∴y=12-

36

12-x

，
∴y关于x的函数解析式是y=

108-12x

12-x

，定义域为0＜x≤9．

（3）解：过点A、F分别作AG⊥BC、FH⊥BC，垂足分别为G、H，如图
∴cos∠ACG=

CH

CF

=

CG

AC

，
∵AD=3，CF=

36

12-3

=4，CG=

1

2

BC=3．
∴

CH

4

=

3

12

，
∴CH=1．
∴FH²=CF²-CH²=16-1=15．
∵BH=BC-CH=6-1=5，
∴BF=

BH2+FH2

=

25+15

=2

10

．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：若两个三角形有两组角对应相等，则这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及三角函数的定义．