Question

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么称点C为线段AB的黄金分割点．
（1）某研究小组在进行课题学习时，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图2）
问题．试在图3的梯形中画出至少五条黄金分割线，并说明理由．
（2）类似“黄金分割线”得“黄金分割面”定义：截面a将一个体积为V的图形分成体积为V₁、V₂的两个图形，且

V1

V

=

V2

V1

，则称直线a为该图形的黄金分割面．
问题：如图4，长方体ABCD-EFGH中，T是线段AB上的黄金分割点，证明经过T点且平行于平面BCGF的截面QRST是长方体的黄金分割面．

Answer 1

分析：（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线．
（2）根据AT：AB=TB：AT，进而推出S_矩形QRST=S_矩形BCGF因为AT×S_矩形QRST：AB×S_矩形BCGF=TB×S_矩形ADHE：AT×S_矩形QRST从而不难求得截面QRST是长方体的黄金分割面．

解答：解：（1）如图，先在梯形的中位线EF上找一个黄金分割点G，过点G作一条直线L交AD于点M，交BC于N，则MN就是梯形的黄金分割线．
∵EG：EF=GF：EG，
∴EG×h：EF×h=GF×h：EG×h，
∵S_梯形ABNM=EG×h，S_梯形MNCD=GF×h，S_梯形ABCD=EF×h（h是梯形的高），
∴S_梯形ABNM：S_梯形ABCD=S_梯形NMCD：S_梯形ABNM，
∵直线L是过G的任意一条与AD，BC都相交的直线，
∴符合题意的黄金分割线有无穷多条．

（2）∵AT：AB=TB：AT，
∴S_矩形QRST=S_矩形BCGF，
∵AT×S_矩形QRST：AB×S_矩形BCGF=TB×S_矩形ADHE：AT×S_矩形QRST，
即截面QRST将体积为V的长方体，分成左右两块体积分别是V₁，V₂，
∴V₁：V=V₂：V₁，
∴截面QRST是长方体的黄金分割面．

点评：此题主要考查学生对黄金分割的理解及综合推理能力．