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如图,在凸四边形ABCD中,C、D为定点,CD=3,A、B为动点,满足AB=BC=DA=1.
(Ⅰ)写出cosC与cosA的关系式;
(Ⅱ)设△BCD和△ABD的面积分别为S和T,求S2+T2的最大值.
考点:正弦定理与余弦定理
专题:
分析:(Ⅰ)连结BD,在△BCD中及在△ABD中,利用余弦定理分别表示BD2,BD2=BD2的相等关系即可得出cosC与cosA的关系式;
(Ⅱ)利用正弦定理表示出S及T,利用(Ⅰ)的关系式表示出S2+T2即可得出S2+T2的最大值.
解答:解:(Ⅰ)如图,连结BD,

∵CD=3,AB=BC=DA=1.
∴在△BCD中,利用余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC=10-6cosC
在△ABD中,BD2=2-2cosA,
∴10-6cosC=2-2cosA,
∴cosA=3cosC-4,
(Ⅱ)S=
1
2
BC•CD•sinC=
3
2
sinC,T=
1
2
AB•ADsinA=
1
2
sinA,
∵cosA=3cosC-4,
∴S2+T2=
9
4
sin2C+
1
4
sin2A=
9
4
(1-cos2C)+
1
4
(1-cos2A)=
5
2
-
9
4
cos2C-
1
4
cos2A=-
9
2
cos2C+6cosC-
3
2
=-(
3
2
2
cosC-
2
)2
+
1
2

∴当cosC=
2
3
时,S2+T2的最大值是
1
2
点评:本题主要考查了正弦定理与余弦定理及三角形面积公式,熟练掌握正弦定理与余弦定理是解题的关键.
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解方程:
(1)x-7=10-4(x+0.5)
(2)0.5y-0.7=6.5-1.3y
(3)
x-1
2
=
4x
3

(4)
5x+1
3
-
2x-1
6
=1.

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解方程:
(1)4x-3(5-x)=6;             
(2)3x+
2x-1
3
=3-
x-1
2

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计算:
(1)-14-
1
6
×-3+(-3)2

(2)(
1
2
-
1
3
)÷(-
1
6
)+(-2)2×(-14)

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解方程组:
(1)
3x+y=11
7x-3y=15

(2)
m+n
2
-
m-n
3
=4
m+n
3
-
m-n
4
=-1

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