Question

16．已知点A（-1，1）在二次函数y=x²+mx+2n的图象上．
（1）用含n的代数式表示m；
（2）如果二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入函数解析式，列出含有m、n的等式，通过变形得到含m的代数式表示n．
（2）抛物线与x轴只有一个交点，则△=0，由此求得m、n的值；得出二次函数的解析式，然后分别求出二次函数图象的顶点坐标即可．

解答 解：（1）∵点A（-1，1）在二次函数y=x²+mx+2n的图象上，
∴1-m+2n=1，
∴m=2n；
（2）∵该二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴△=m²-8n=0．
∵由（1）知，m=2n，
∴4n²-8n=0，即4n（n-2）=0，
解得n=0或n=2，
∴m=0或m=4，
当n=0，m=0时，二次函数解析式为y=x²，顶点坐标为（0，0）；
当n=2，m=4时，二次函数解析式为y=x²+4x+4=（x+2）²，顶点坐标为（-2，0）；
综上所述，如果二次函数的图象与x轴只有一个交点，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（-2，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数的解析式．求出n和m的值是解决问题（2）的关键．