分析 （1）先求得点A和点C的坐标，然后将点A、C、O的坐标分别代入抛物线的解析式可得到关于a、b、c的方程组，从而可求得a、b、c的值；
（2）①先根据勾股定理得：AC=4$\sqrt{2}$．由S△AOE：S△OCE=3：1可得到AE=3$\sqrt{2}$，或AE=6$\sqrt{2}$，然后过点E作EH⊥x轴，垂足为H，然后求得OH、EH的长，从而可求得点E的坐标，将点E的坐标代入y=kx可求得k的值；②设点E的坐标为（x，x+4），则AE=$\sqrt{（x+4）^{2}+（x+4）^{2}}$，OE=$\sqrt{{x}^{2}+（x+4）^{2}}$．然后分为AO=OE、AO=AE、EA=EO三种情况列方程求解即可．
解答 解：（1）把x=0代入y=x+4得y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
把y=0代入y+x+4得：x=-4，
∴点A的坐标为（-4，0）．
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c经过点A和点C，得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：h=-1，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2-x+4．
（2）①∵OA=OC=4，根据勾股定理得：AC=4$\sqrt{2}$．
∵S△AOE：S△OCE=3：1时，
∴AE：EC=3：1．
当点E在线段AC上时，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，则AE=3$\sqrt{2}$，CE=$\sqrt{2}$．
∴OH=1，EH=3．
∴点E的坐标为（-1，3）．
把点E的坐标代入y=kx得：k=-3．
∴正比例函数的解析式为y=-3x．
当点E在线段AC的长线上时，过点E作EH⊥x轴，垂足为H，则AE=6$\sqrt{2}$，EC=2$\sqrt{2}$．
∴OH=2，HE=6．
∴点E的坐标为（2，6）．
把点E（2，6）代入y=kx得：k=3．
综上所述k的值为3或-3．
②设点E的坐标为（x，x+4），则AE=$\sqrt{（x+4）^{2}+（x+4）^{2}}$，OE=$\sqrt{{x}^{2}+（x+4）^{2}}$．
当AO=OE时，$\sqrt{{x}^{2}+（x+4）^{2}}$=4，整理得：2x2+8x=0，解得x=0或x=-4（舍去）．
∴点E的坐标为（0，4）．
当AO=AE时，$\sqrt{（x+4）^{2}+（x+4）^{2}}$=4，整理得：x2+8x+8=0，解得：x=-4+2$\sqrt{2}$或x=-4-2$\sqrt{2}$．
∴点E的坐标为（2$\sqrt{2}$-4，2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$-4，-2$\sqrt{2}$）．
当EA=EO时，$\sqrt{（x+4）^{2}+（x+4）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+（x+4）^{2}}$，整理得：8x+16=0，解得：x=-2．
∴点E的坐标为（-2，2）．
点E的坐标为（-2，2）或（0，4）或（2$\sqrt{2}$-4，2$\sqrt{2}$）或（-2$\sqrt{2}$-4，-2$\sqrt{2}$）．
点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、三角形的面积公式、等腰三角形的定义、两点的距离公式，依据等腰三角形的定义以及两点间的距离公式列出方程是解答本题的关键．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，已知直线a∥b，现将一直角三角板的直角顶点放在直线b上，若∠3=50°，则下列结论错误的是（ ）| A． | ∠1=50° | B． | ∠2=50° | C． | ∠4=130° | D． | ∠5=30° |
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如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为10°．
如图，在△ABC中，AB=AC，边AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周长为24cm，BC=10cm，则AB的长为14cm．
如图，a∥b，AB⊥AC，∠1=65°29′，则∠2=24°31′．