Question

13．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，AB=8，BE=1.5，将$\widehat{AD}$沿着AD对折，对折之后的弧称为M，则点O与M所在圆的位置关系为（　　）

• A． 点在圆上
• B． 点在圆内
• C． 点在圆外
• D． 无法确定

Answer 1

分析 作辅助线，根据垂径定理得：AF=FD=$\frac{1}{2}$AD，根据直径得出半径的长为4，根据勾股定理计算得出ED和AD的长，接着计算OF和FH的长，做比较，O与新圆心的距离小于半径的长，得出结论．

解答 解：过O作OF⊥AD，交⊙O于G，交M于H，连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB=8，
∴OA=OB=OG=OD=4，
∵BE=1.5，
∴OE=4-1.5=2.5，
在Rt△OED中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{O{D}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{39}}{2}$，
在RtAED中，AD=$\sqrt{A{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{13}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{39}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{208}{4}}$=2$\sqrt{13}$，
∵OF⊥AD，
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{13}$，
由勾股定理得：OF=$\sqrt{O{A}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{13}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
由折叠得：M所在圆与圆O是等圆，
∴M所在圆的半径为4，
∴FH=FG=4-$\sqrt{3}$，
∵4-$\sqrt{3}$＞$\sqrt{3}$，
∴FH＞OF，
∴O在M所在圆内，
故选B．

点评 本题考查了点和圆的位置关系、垂径定理、勾股定理、折叠的性质，要知道将弧沿所对的弦折叠时，所构成的圆与原来的圆是等圆，其圆心在这条弦的垂直平分线上，并熟练掌握点和圆的位置关系．