阅读材料.解答问题数学课上.同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说:如图1.我用相同的两块含30° 角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下:(1)在∠AOB 的两边上分别取点M.N.使OM=ON,(2)把直角三角板按如图所示的位置放置.两斜边交于点P．射线OP是∠AOB的平分线．小旭说:我只用刻度尺就可以画角平� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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阅读材料，解答问题
数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．
小惠说：如图1，我用相同的两块含30° 角的直角三角板可以画角的平分线．画法如下：
（1）在∠AOB 的两边上分别取点M，N，使OM=ON；
（2）把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点P．
射线OP是∠AOB的平分线．
小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线．
请你也参与探讨，解决以下问题：
（1）小惠的做法正确吗？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由．
（2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图2中∠QRS的平分线，并简述画图的过程．

分析（1）过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D，求出△OMC≌△OND，根据全等三角形的性质得出OC=OD，∠COM=∠DON，根据角平分线性质求出∠CPO=∠DPO．根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据全等三角形的判定定理SSS，用刻度尺作出即可．

解答解：（1）小惠的做法正确．
理由如下：
如图1，过O点作OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴∠C=∠D=90°．
由题意，∠PMA=∠PNB=60°，
∴∠OMC=∠PMA=60°，∠OND=∠PNB=60°．
∴∠OMC=∠OND．
在△OMC和△OND中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMO=∠DNO}\\{∠C=∠D}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMC≌△OND（AAS），
∴OC=OD，∠COM=∠DON．
∵OC⊥PM于C，OD⊥PN于D．
∴点O在∠CPD的平分线上．
∴∠CPO=∠DPO．
∴∠COP=∠DOP．
∴∠MOP=∠NOP．
即射线OP是∠AOB的平分线．
（2）如图．射线RX是∠QRS的平分线．
简述画图过程：如图2．
用刻度尺作RV=RW，RT=RU；
连接TW，UV交于点X；
射线RX即为所求∠QRS的平分线．

点评本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．

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